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Bonjour,
Je me présente: je m'appelle Safaa Nemlaghi, je suis en seconde et
j'aurai bientôt 15 ans. Je voudrais vous poser une question simple:
prouvez-moi que 1 = 0.99999...
Je ne serais pas étonnée que vous trouviez la réponse assez vite, et je
vous remercie de votre minute d'attention (sachant qu'une minute vaut 60
secondes).
Safaa
Cher Safaa,
Posons
x = 0.9999...
alors 10x = 9.9999... (infini)
alors 10x = 9 + x
alors 10x - x = 9
alors 9x = 9
alors x = 1
alors 0.9999.. (infini) = 1
Mais attention, cette démonstration évacue le principe de limite; or il
est essentiel ici.
Le célèbre paradoxe d'Achille évoqué par Easythomas se trouve résolu par
l'introduction de la notion mathématique de «limite»:
On suppose que la tortue a 100 m d’avance sur Achille.
V (Tortue) = 1 m/s et V (Achille) = 10m/s
Achille parcourt les 100 m de son retard en 10 s tandis que la tortue
avance de 10 m.
Achille mettra 1s pour parcourir les 10 m tandis que la tortue a avancé
d’1 m, et ainsi de suite…
Le temps nécessaire pour rattraper la tortue s’écrit donc:
T = 10 s + 1 s + 1/10 s + 1/100 s, etc.
Ceci est une suite infinie. On peut donc penser qu’Achille ne rattrapera
jamais la tortue.
En réalité, il s’agit d’une progression géométrique de raison q = 1/10.
On peut donc écrire sa somme, N étant le nombre infini de termes de
cette suite: S = 10 × [ 1- (1/10) ^N ]/ [ 1- (1/10) ]
Or, lorsque N tend vers l’infini, (1/10) ^N tend vers 0.
Donc, lorsque N tend vers l’infini, lim S = 10 / [ 1 - (1/10) ] = 100/9
= 11.111s.
Le calcul montre qu’Achille rattrapera la tortue au bout d’environ 11 s
1/9.
Le paradoxe posé dans ce sujet se résout également de la même façon!
Albert Einstein |
