Topologie des espaces vectoriels normés
       

       
         
         

andrebikath@yahoo.fr

      Bonjour Albert Einstein,

J'ai un problème qui est de montrer que s'il existe un voisinage de a tel que une fonction f soit bornée dans ce voisinage et la limite de f quand x tend vers l'infini est 0 alors 1sur f(x) tend vers l'infini.

 

         
           

Albert Einstein


 
Monsieur,

vous m'en voyez profondément désolé, mais je n'ai pas l'intention ni la prétention de faire vos travaux pratiques à votre place. C'est votre nom qui doit apparaître sur votre diplôme, pas le mien. Cependant, la topologie des espaces vectoriels normés est un sujet très intéressant, en passant. Ainsi, je ne peux vous laisser sans vous donner quelques éléments de réflexion :

Û " e, $ a>0," x Î A, | | x - a | | < a Þ | | f(x) - l | | < e

Propriétés : - on peut remplacer les normes de F et de E par des normes équivalentes sans changer la limite.

- si la limite existe, elle est unique.

- si f a une limite en a, alors f est bornée au voisinage de a.

- une limite adhère à l'image

Caractérisation séquentielle :

f tend vers l quand x tend vers a si et seulement si pour toute suite (an)n d'éléments de A convergeant vers a, la suite (f(an)) converge vers l.

f a une limite en a si et seulement si pour toute suite (an)n d'éléments de A convergente, la suite (f(an)) converge.

Les opérations sur les limites sont supposées connues.

Le produit d'une fonction bornée par une fonction qui tend vers 0 tend vers 0.

Albert Einstein