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Salut,
J'ai vu l'équation de la relativité
générale mais je ne comprends pas vraiment le sens des
differents tenseurs et leurs valeurs. Pourrais-tu me les expliquer.
Merci
Chère Martine,
L'équation de la relativité générale peut se résumer en
Courbure = Matière. En d'autres mots, l'espace agit sur la matière et lui
indique comment elle doit se déplacer, et la matière agit sur l'espace et lui
indique comment il doit se courber.
L'image traditionnelle de la boule
pesante qui déforme un drap est trompeuse. Les masses gravitationnelles, comme
le soleil ou les planètes, courbent bien l'espace-temps dans toutes les
dimensions spatio-temporelles, et pas seulement dans un plan. L'image d'une
boule sur un drap n'est en fait qu'un moyen rapide de saisir l'action
gravitationnelle, mais cela est loin de représenter la réalité. C'est justement
là le rôle des différents tenseurs dans l'équation.
Les tenseurs sont
essentiels dans la relativité générale. Voici de quoi il retourne. Le calcul
vectoriel classique est une technique simple et efficace qui s'adapte
parfaitement à l'étude des propriétés mécaniques et physiques de la matière dans
l'espace euclidien à trois dimensions. Cependant, dans de nombreux domaines de
la physique, il apparaît des grandeurs expérimentales qui ne peuvent plus être
facilement représentées par de simples vecteurs-colonnes d'espaces vectoriels
euclidiens. C'est le cas par exemple en mécanique des milieux continus, fluides
ou solides, en électromagnétisme, relativité générale, etc.
Le tenseur
est une généralisation de la notion de vecteur, dans l'étude des espaces
vectoriels à n dimensions. Les tenseurs sont également des vecteurs de dimension
quelconque mais qui possèdent des propriétés supplémentaires par rapport aux
vecteurs.
Dès la fin du
19ème siècle, l'analyse des forces qui s'exercent
à l'intérieur d'un milieu continu a conduit à
mettre en évidence des grandeurs physiques
caractérisées par neuf nombres représentant les
forces de pression ou de tension internes. La représentation de
ces grandeurs nécessita l'introduction d'un nouvel être
mathématique qui fut appelé «tenseur», par
référence à son origine physique (en fait, il
s'agit de matrices sur lesquelles nous définissons des
opérations mathématiques propres au domaine de la
physique). Par la suite, à partir de 1900, ce furent R. Ricci et
T. Lévi-Civita qui développèrent le calcul
tensoriel; puis l'étude des tenseurs permit un approfondissement
de la théorie des espaces vectoriels et contribua au
développement de la géométrie
différentielle.
Le calcul tensoriel a également pour avantage de se
libérer de tous les systèmes de coordonnées et leurs formes sont ainsi
invariantes (énorme allègement des calculs). Il n'y a plus alors à se préoccuper
dans quel référentiel il convient de travailler, et cela est très intéressant en
relativité générale (il est possible de reformuler toute la physique sous forme
tensorielle).
Dans tous les cas, je conseille vivement aux étudiants de
bien maîtriser les bases du calcul vectoriel et de l'algèbre linéaire, avant de
s'attaquer au calcul tensoriel.
Je comprends très bien
votre question ou, plutôt, votre interrogation sur les tenseurs.
Je n'étais pas du tout familier moi non plus avec ces objets
opérateurs mathématiques lorsque mon ami Grossman m'a
parlé d'eux. Mais malheureusement pour tous ceux qui ne sont pas
familiers avec ces objets, ils sont bel et bien essentiels à la
modélisation des équations de la relativité
Générale. J'ai bien dit Générale. On peut
aisément conceptualiser la relativité Restreinte au moyen
de transformations de Lorentz, mais la Générale doit
être décrite avec des tenseurs. Loin d'être des
démons mathématiques, les tenseurs sont utilisés
pour désigner les tiraillements et les tensions que subissent
les surfaces d'un solide comprimé ou dilaté. Il s'agit
d'un simple tableau contenant des opérateurs où sont
rangées les composantes des tensions selon chaque direction.
À partir des espaces de Riemann, Ricci a
généralisé le concept. Un tenseur
généralisé est donc défini par la
façon particulière dont il se transforme quand on passe
d'un système de coordonnées à un autre. Ainsi, les
équations qui mettent en jeu des tenseurs conservent la
même forme quand on change de coordonnées. N'est-ce pas
là ce dont j'avais exactement besoin?
L'un des tenseurs utilisé est le tenseur
d'énergie-impulsion. Le tenseur énergie-impulsion peut s'écrire sous la forme
d'une matrice 4x4 réelle symétrique.
Le voici :
ou, d'une
manière imagée:
On y retrouve les grandeurs physiques
suivantes :
T00 est la densité volumique d'énergie. Elle est
positive.
T10, T20, T30 sont les densités de moments.
T01, T02, T03 sont
les flux d'énergie.
La sous-matrice 3 x 3 (ci-dessous) des composantes
spatiale-spatiale :
est la matrice des
flux de moments. En mécanique des fluides, sa diagonale correspond à la
pression, et les autres composantes correspondent aux efforts tangentiels dus à
la viscosité.
Dans l'équation de la relativité générale, nous retrouvons
également le tenseur de Ricci. Il est beaucoup plus difficile à décrire, aussi,
je vais vous faire grâce de certains détails.
Dans le cadre de la théorie
de la Relativité générale, le champ de gravitation est interprété comme une
déformation de l'espace-temps. Cette déformation est exprimée à l'aide du
Tenseur de Ricci, dont le nom a été attribué à son inventeur, Gregorio
Ricci-Curbastro. Le tenseur de Ricci est un tenseur d'ordre 2, obtenu comme la
trace du tenseur de courbure complet. On peut le considérer comme le Laplacien
du tenseur métrique riemannien dans le cas des variétés riemanniennes. Le
tenseur de Ricci occupe une place importante notamment dans l'équation
d'Einstein, relation principale de la relativité générale.
Le tenseur de
Ricci s'obtient à partir du tenseur de courbure de Riemann R, qui exprime la
courbure de la variété (dans le cas de la Relativité générale, de
l'espace-temps), à l'aide d'un réduction d'indices du tenseur. Il peut
s'exprimer notamment à partir des coefficients de Christoffel, qui représentent
l'évolution des vecteurs de base d'un point à l'autre de l'espace-temps, due à
la courbure de ce dernier. Ces coefficients dépendent alors directement de la
métrique de l'espace (de la variété), qui est un outil mathématique permettant
de définir les distances au sein de l'espace.
Les coefficients de
Christoffel s'expriment :
Albert Einstein
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