Que sont les tenseurs ?
       

       
         
         

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      Dans le message intitulé: «Équation d'Einstein - relativité générale», pouvez-vous m'expliquer ce qu'est un tenseur?

Sincères salutations et bonne continuation.

 

       
         

Albert Einstein

      Effectivement, si j'ai parlé de tenseur, c'est que ceux-ci sont très utilisés en physique pour définir la relativité générale en équations.

Voici ce quoi il en retourne. Le calcul vectoriel classique est une technique simple et efficace qui s'adapte parfaitement à l'étude des propriétés mécaniques et physiques de la matière dans l'espace euclidien à trois dimensions. Cependant, dans de nombreux domaines de la physique, il apparaît des grandeurs expérimentales qui ne peuvent plus être facilement représentées par de simples vecteurs-colonnes d'espaces vectoriels euclidiens. C'est le cas par exemple en mécanique des milieux continus, fluides ou solides, en électromagnétisme, relativité générale, etc.

Le tenseur est une généralisation de la notion de vecteur, dans l'étude des espaces vectoriels à n dimensions. Les tenseurs sont également des vecteurs de dimension quelconque mais qui possèdent des propriétés supplémentaires par rapport aux vecteurs.

Dès la fin du 19e siècle, l'analyse des forces qui s'exercent à l'intérieur d'un milieu continu a conduit à mettre en évidence des grandeurs physique caractérisées par neuf nombres représentant les forces de pression ou de tension internes. La représentation de ces grandeurs nécessita l'introduction d'un nouvel être mathématique qui fut appelé «tenseur», par référence à son origine physique (au fait, il s'agit de matrices sur lesquelles nous définissons des opérations mathématiques propres au domaine de la physique). Par la suite, à partir de 1900, ce furent R. Ricci et T. Lévi-Civita qui développèrent le calcul tensoriel; puis l'étude des tenseurs permit un approfondissement de la théorie des espaces vectoriels et contribua au développement de la géométrie différentielle.

Le calcul tensoriel a également pour avantage de se libérer de tous les systèmes de coordonnées et leurs formes sont ainsi invariantes (énorme allègement des calculs). Il n'y a plus alors à se préoccuper dans quel référentiel il convient de travailler, et cela est très intéressant en relativité générale (il est possible de reformuler toute la physique sous forme tensorielle).

Dans tous les cas, je conseille vivement aux étudiants de bien maîtriser les bases du calcul vectoriel et de l'algèbre linéaire, avant de s'attaquer au calcul tensoriel.

Albert Einstein