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Bonjour cher Einstein!
Lors d'une discussion sur les probabilités avec un
ami, un léger différend est né entre nous. Nous nous sommes alors demandés vers
qui nous tourner pour avoir cette réponse, et, ayant découvert Dialogus dans la
journée, votre nom nous est apparu comme une évidence.
Imaginons un
simple pile ou face, deux issues possibles, et des chances de sortir identiques,
c'est-à-dire 1/2. La question est de savoir si les chances de gagner AU MOINS
UNE FOIS sont identiques, en misant toujours sur l'une des deux faces, ou en
changeant à chaque étape. Mon ami serait tenté de dire oui, vu que les deux
issues ont les mêmes probabilités. Malgré cette affirmation, un doute réside, du
fait de l'existence d'une loi des grands nombres appliqués aux probabilités,
expliquant que, dans ce domaine, sur un grand nombre de tirages, l'ensemble des
issues possibles sortent aussi souvent (tendant donc à affirmer que les deux
sortent forcément, et que par là même, il est donc certain de voir la pièce
atterrir au moins une fois sur pile, ce qui n'est pas le cas en changeant
continuellement). Serait il possible d'avoir votre opinion
là-dessus?
Rémi
Cher ami,
Votre questionnement est tout à fait légitime, et j'en
profite pour vous remercier de me poser cette question, parce que cela me
permettra de vous introduire au merveilleux monde des probabilités. Je voudrais
également vous remercier d'avoir pensé à moi.
Vous savez, je vais vous
répondre en terme de probalibités uniquement. Cela concerne uniquement
l'application des mathématiques, et non la physique, vous ne devez pas en
conclure que ma réponse est un aval à la théorie quantique de la matière.
Lorsqu'il est question du comportement des électrons autour du noyau d'un atome,
je ne crois pas aux probabilités.
Voici. Que vous gagiez sur pile ou sur
face à chaque coup, en ne changeant jamais, ou alors que vous gagiez en
alternance, vous aurez toujours, et jusqu'à l'infini, une chance sur deux de
gagner à chaque coup. La seule et unique raison qui motive ma réponse est qu'il
s'agit de tirages indépendants avec remise, et ici chaque terme est important.
Le terme tirage indépendant implique que chaque résultat obtenu n'a absolument
aucun impact sur la probabilité du tirage suivant. Pour le terme avec ou sans
remise, nous aurons besoin d'un petit exemple. Prenons un sac dans lequel vous
déposez trois boules rouges et trois boules noires, absolument identiques et de
même fabrication. Vous devez mettre la main dans le sac et en sortir une boule,
pendant que votre ami prend un pari. Vous aurez compris qu'à ce stade du jeu il
s'agit du même principe que le pile ou face; comme il y a trois boules sur six
d'une même couleur, les chances sont donc égales, et la probabilité est de une
sur deux. Maintenant, le jeu peut avoir deux variantes: dans l'une d'elle vous
remettez la boule tirée dans le sac avant de faire un deuxième tirage. Dans
l'autre cas, vous déposez la boule sur la table ou sur un trépied, et vous
faites un second tirage. Selon le cas, les probabilités de la deuxième boule ne
sont plus les mêmes.
Si vous remettez la boule dans le sac, il s'agit
d'un tirage AVEC remise, auquel cas le tirage suivant se fera dans des
conditions identiques au premier, et donc que le premier tirage ne permet pas de
prédire la probabilité de suivant, sinon qu'elle est encore de 0,5. C'est comme
si remettiez les compteurs à zéro entre chaque tirage.
Si vous ne
remettez pas la boule dans le sac, il s'agit d'un tirage SANS remise, et alors
la probabilité de tirer une boule rouge au second tirage est modulée par le
résultat du premier tirage. Dans le cas présent, si une boule rouge est sortie
au premier tirage, la probabilité de sortir une rouge au second est de 40%
(2/5), et de sortir une noire est de 60% (3/5). Vous voyez tout de suite que le
nombre de boule a un impact très important sur la nature des probabilités. Si
votre sac contient cinq cents boules rouges et cinq cents boules noires, le fait
d'effectuer un tirage sans remise n'a qu'un impact de 1/999 pour le second
tirage. En supposant que vous ayiez un sac infiniment grand contenant une
infinité de boule rouges et une infinité de boules noires, la probabilité
redevient de 50%, que le tirage soit avec ou sans remise.
Donc, pour
conclure, il n'y a absolument aucune méthode de prédiction qui peut s'appliquer
à une partie de pile ou face. En langage mathématique, on dit que le jeu de pile
ou face suit une loi binomiale B (n, 1/2), n étant le nombre de lancers et 1/2
étant la probabilité de chaque face, à la condition que la pièce soit de
fabrication homogène et équilibrée.
Albert Einstein
Suite à mon premier message, pour lequel je vous remercie de votre réponse, une
autre question de probabilités est venu tarauder mon esprit après le visionnage
du film Las Vegas 21! En effet, dans ce film, pour un jeu télévisé, trois
rideaux sont disposés devant le candidat. Derrière deux d'entre eux se cache une
chèvre, derrière l'autre une voiture; le candidat sélectionne un rideau, le
présentateur en ouvre un qui découvre une chèvre: le candidat décide de changer
de rideau en remerciant le présentateur pour les pourcentages gagnés.
Et
voilà le problème: je cherche à comprendre ce qui peut faire penser à des
pourcentages gagnés: au départ le candidat choisit un rideau, et a trente-trois
pour cent de chance d'avoir la voiture; il y a donc soixante-six pour cent de
chance qu'elle n'y soit pas! Le fait de découvrir une chèvre de l'autre côté
laisse soixante-six pour cent de chance à l'autre rideau. Cette affirmation
serait juste si l'on parlait d'une suite de probabilités; mais ici, au moment du
dernier choix, il ne reste que DEUX rideaux. Chacun d'eux a donc une probabilité
de cinquante pour cent de chance de cacher la voiture!
N'est-ce pas une
erreur que de garder le postulat de départ? |
