Mathématiques
       

       
         
         

donganna@wanadoo.fr

      Cher M. Albert Einstein,

J'aimerais que vous me donniez des conseils pour que je puisse m'améliorer dans cette matière qui me cause tant de soucis: les mathématiques.

Je vous remercie d'avance et je vous souhaite une bonne continuation.


   



 

Albert Einstein


 
La clé du succès dans la compréhension des mathématiques est la capacité de manipuler des concepts abstraits. Idéalement, il devrait être possible de visualiser des fonctions sans même toucher à une craie et à un tableau. 
Commencez par quelque chose de simple, une fonction du premier degré, soit y=f(x)=ax+b. Que nous dit cette équation? Pouvons-nous visualiser cette droite dans un plan, quelles que soient les valeurs de a, x et b? Prenons le cas trivial où a=1 et b=0. Cela nous donne la simple équivalence y=x, qui est très facile à visualiser, c'est une diagonale à 45 degrés qui passe par l'origine. Vous la voyez? Sinon, dessinez-là. Par la suite, vous ne l'oublierez plus jamais. 
Toujours en laissant a=1, donnons maintenant une valeur à b, mettons 3. Qu'est-ce que cela produit? y=x+3. Dessinez-là également. Vous verrez que vous avez toujours la même diagonale, mais qu'elle ne passe plus par l'origine, mais plutôt par y=3 lorsque x=0. Si vous saisissez cela, vous comprenez que la valeur b ne fait que situer la droite en "hauteur", sans rien changer à sa pente. Toutes les valeurs possibles de b donnent ainsi une infinité de droites parallèles et de même pente. Lorsque x=0, toutes les droites définies par b>0 traversent l'axe de y au-dessus alors que toutes les droites définies par b<0 traversent l'axe de y au-dessous. Simple? Bien. Continuons. Faisons l'inverse, donnons différentes valeurs à a en posant b=0. Disons que a=2. Cela nous donne y=2x. Dessinez-là. Dessinez maintenant y=3x, y=4x. Ça vous saute aux yeux n'est-ce pas? Vous voyez que la valeur de a ne fait que modifier la pente de la droite sans changer sa "hauteur". Mentalement, vous pouvez vérifier que, pour un b donné, les différentes valeurs de a donnent une infinité de droites tournant autour d'un même point. Plus a est grand plus la pente est élevée, c'est à dire plus la droite tend vers la verticale. A l'inverse, plus a est petit, plus la droite tend vers l'horizontale. On dit que à la limite où a tend vers zéro, la droite devient asymptotique (se rapproche) de l'axe des x, et à la limite où a tend vers l'infini, la droite devient asymptotique (se rapproche) de l'axe des y.

On peut maintenant imaginer la droite en faisant varier simultanément a et b. Vous devriez être capable de "voir" la droite y=ax+b dans le plan pour quelques valeurs de a, x et b. On dit que vous la visualisez. Si c'est le cas, vous avez accompli un pas de géant. Pour résumer, on dit que la représentation graphique de la fonction f(x)=ax+b est une droite de pente a, que cette droite coupe l'axe des y en y=b, et qu'elle passe par l'origine quand b=0.

Si le coeur vous en dit, vous pouvez tentez la même expérience avec une fonction du second degré, y=f(x)=ax2+bx+c. Vous verrez que ce n'est pas plus dur, simplement, la représentation graphique de cette fonction est une parabole, et non plus une droite. 
Je vais cependant vous donner un petit coup de main:

a définit l'écartement des deux bras de la courbe. De plus, si a est positif, la parabole est tournée vers le haut, si a est négatif, elle est tournée vers le bas. Le sommet de la parabole correspond à x=-b/2a. b entraîne une dissymétrie de la parabole. c définit la "hauteur" de la parabole.

Albert Einstein