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Monsieur Einstein,
Je me demande ce qu'est l'infini sous toutes ses formes. L'infini serait
sans limite universel.
Lorsqu'on est sur terre celle-ci paraît infinie car il s'agit d'une
sphère mais on peut mesurer sa limite grâce aux mathématiques, mais ça
ne m'explique pas comment concevoir quelque chose de réellement infini
car il surpasserait toutes les autres choses, alors comment la valeur ∞
«infini», bien pratique en math, a-t-elle pu naître car, si elle existe,
elle devient omniprésente et occulte toutes les autres? non je ne sais
pas trop, je suis un peu perdu...
Respectueusement
Nicolas
Cher Nicolas,
L'infini est absolument essentiel en sciences. Il n'y a aucune raison
d'être perdu. Voici un petit truc bien facile pour vous aider à imaginer
l'infini. Supposons qu'on vous demande de dénombrer, c'est-à-dire, de
nommer, un par un, tous les entiers positifs en commençant à 1. Alors
vous commencez... 1... 2... 3, etc. Vous demandez à la personne combien
elle en veut. Elle vous répète qu'elle les veut tous. Mieux, elle vous
paie un salaire à vie pour que vous ne fassiez que ça. En combien de
temps croyez-vous terminer cette tâche, en d'autres mots, dans combien
de temps pourrez-vous enfin nommer le «dernier» entier? Je vais vous le
dire. Vous en aurez pour la vie, et après vous, vos enfants et les
enfants de vos enfants, jusqu'au jour où la vie disparaître de la Terre.
Parce qu'il n'y a pas de «dernier» entier. Les entiers constituent ce
qu'on appelle un ensemble infini, et les infinis peuvent être appliqués
à des centaines d'autres applications.
Albert Einstein
Monsieur Einstein, merci pour cette réponse tant attendue, mais j'ai le
regret de ne pas être convaincu, excusez mon incompréhension, mais j'en
conclus que personne ne pourra dénombrer tous les entiers positifs,
c'est donc une tâche impossible, même sur une infinité de génération, ma
conclusion c'est qu'il y aura une fin à ce dénombrement, et donc le
dénombrement finira par arriver à terme si personne ne peut aboutir.
Quelqu'un qui posséderait l'immortalité ne pourrait pas non plus
atteindre l'objectif de dénombrer tous ces entiers. Même s'il est
possible d'imaginer les dénombrer éternellement, il n'y a pas de dernier
entier comme vous dites, comment est ce possible que quelque chose n'ait
pas de fin? Dès qu'on veut dénombrer quelque chose on utilise les
entiers tel est leur rôle, mais on les utilise pour dénombrer quelque
chose qui a une fin (des pommes, des étoiles, toutes les particules de
l'univers etc.) on peut arriver à tous les dénombrer et les trier afin
d'obtenir un entier qui serait représentatif d'une quantité définie. De
la même façon on pourrait marcher infiniment autour de la lune alors que
celle-ci a une taille finie, quelle utilité cela a-t-il de pouvoir se
dire qu'on peut marcher infiniment autour de la lune? Je peux aussi
marcher infiniment dans une seule pièce. Le référentiel change; une fois
la lune, une fois une piece de maison pourtant le résultat est le même à
savoir l'infini, et pourtant il n'a pas la même signification.
De la même façon quand on veut dénombrer tous les entiers quel sens cela
a-t-il? A quoi cela va-t-il servir? On utilise les entiers pour mesurer
quelque chose et toute chose a une fin alors à quoi sert l'infini? De
plus si vous connaissez l'histoire de «l’infini» comment/pourquoi a-t-il
été inventé? par qui? et quand? Un petit topo sur la naissance du sens
de l'infini pas trop compliqué me serait d'un grand secours, les
recherches que j'ai faites ne sont pas suffisamment étoffées pour
obtenir un résultat dans le domaine qui m'intéresse.
Dans votre explication très claire personne ne demandera jamais à
quelqu'un de devoir dénombrer tous ses entiers puisque c'est impossible,
puisqu'elle les veut tous; personne n'est capable d'aboutir à cette
requête, on ne peut donc pas accepter une offre pareille tout comme il
est inconcevable d'avoir une telle requête.
Ce qui m'inquiète le plus c'est qu'en imaginant l'infini possible,
celui-ci deviendrait omniprésent et occulterait tout ce qui ne serait
pas infini et remettrait en question le fait de pouvoir dénombrer quoi
que ce soit. En fait, je voyais plus l'infini comme un outil, plutôt que
comme quelque chose de concevable, comme vous dites clairement les
entiers constituent un ensemble infini, c'est juste un outil qui est
capable de s'adapter à tout ce qu'on veut dénombrer, mais peut être que
jamais on ne dénombrera quelque chose d'infini, les entiers ne sont pas
utilisés pour dénombrer l'infini, pour cela on a dû inventer la notion
même d'infini le symbole ∞ mais on ne peut mélanger des entiers avec des
∞
Merci beaucoup, je suis vraiment impressionné, ébahi par le fait de
pouvoir communiquer avec vous mais sceptique aussi malheureusement, ce
qui fait que je ne sais quoi croire.
Cordialement
Nicolas
Cher Nicolas,
Vous jouez avec les mots et avec les idées de manière à vous faire dire
ce que vous voulez entendre. De la manière dont vous abordez le problème
de l'infini, c'est avec un philosophe et non avec un scientifique que
vous devriez échanger sur ce sujet. On me dit que Spinoza est également
présent sur Dialogus. Cela pourrait être un bon interlocuteur.
Pour les entiers, je ne vous donnais qu'un exemple. Je sais très bien,
comme vous le dites, qu'on ne pourra tous les dénombrer, même sur une
infinité de générations. Cela n'en demeure pas moins un ensemble infini.
Prenez n'importe quel nombre entier comportant autant de chiffres que
vous voudrez, vous pourrez toujours y ajouter un, ou le multiplier par
deux ou par lui-même.
D'autre part, vous savez très bien que la surface de la Lune (ou d'une
pièce) est finie. Alors, ce n'est pas un bon contre-exemple pour nier
l'infini que de mentionner que vous pouvez faire un nombre infini de pas
sur la Lune.
Finalement, je regrette beaucoup de ne pouvoir vous instruire davantage
sur les origines de l'infini, mais je ne suis pas un historien des
sciences. Je peux vous dire que l'origine «moderne» de l'infini, dans le
sens où nous l'entendons en mathématiques remonte à Leibniz et au calcul
infinitésimal. D'autre part, il y a un phénomène intéressant chez les
Grecs de l'antiquité. Ceux-ci avaient un nombre, Myriade, pour désigner
«une quantité innombrable d'êtres ou de choses». Ce nombre valait dix
milles. Pour eux, dix milles était le nombre maximum que l'on pouvait
dénombrer. Cependant, ils durent rapidement inventer le nombre Myriade
de Myriades, puis Décade, et Décades de Décades. Mais ils voyaient
toujours une «limite» aux nombres. Voilà pour le Grec courant. Par
contre, les scientifiques grecs acceptaient volontiers le terme d'infini
dans son sens mathématique. Comme par exemple, en Géométrie Euclidienne,
une droite est constituée d'une infinité de points, un plan est fait
d'une infinité de droites. Cela, ils l'acceptaient, mais pas dans la vie
courante, où l'infini perdait de son «obligation».
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