Dimensionnalité de l'espace-temps
       

       
         
         

s.julien1@tiscali.fr

      Peux-tu m'expliquer pourquoi l'espace-temps a quatre dimensions, du moins à notre échelle ? Y-a-t-il un rapport avec le fait que l'ensemble des quaternions soit un corps non-commutatif, lui aussi de dimension 4?

 

       
         

Albert Einstein

      Ce n'est pas un hasard si l'espace-temps a quatre dimensions. En fait, la notion même d'espace-temps est issu de la relativité restreinte. En raison du fait que la lumière a une vitesse constante dans tous les référentiels, l'espace et le temps ne sont plus absolus. L'espace et le temps ne sont pas des entités séparées. Ce sont des sous-espaces d'un espace temps à quatre dimensions. Trois dimensions sont nécessaires pour représenter les objets physiques, auxquelles on doit ajouter une dimension temporelle.

Ainsi, il apparaît que l'espace et le temps ne sont que deux reflets d'un ensemble plus grand : l'espace-temps.

Dans cet espace-temps (qui n'est jamais qu'un espace 4D) on ne figure plus des «points» (x,y,z) de l'espace évoluant dans le temps mais des événements (x,y,z,t). Les transformations de Lorentz en fait.

L'intervalle entre deux événements est un intervalle d'espace-temps qui doit rester invariant par rapport à l'observateur considéré.

 Mathématiquement, il faut faire appel à de nouveaux êtres biscornus : les quadrivecteurs (4-vecteurs) qui définiront plusieurs quantités comme:
la position (que l'on notera X = (ct,x) ) la vitesse l'impulsion-énergie... etc... d'un système..

Quant aux quaternions, on peut définir la norme d'un 4-vecteur, le produit scalaire de deux 4-vecteurs,... Ces 4-vecteurs sont des quaternions (ici une partie réelle ct et trois parties imaginaires pures ix iy et iz) dont l'invariance de la norme ds2 va permettre de trouver les nouvelles relations satisfaisant à l'expérience de Michelson et Morley... Ce sont les fameuses transformations de Lorentz:

x' = (x - v.t) / (1-(v2/c2))1/2 y' = y z' = z t' = (t - v.x/c2) / (1-(v2/c2))1/2

Ainsi, seule la norme du 4-vecteur position de l'événement est conservée (mais les «projections spatio-temporelles» peuvent varier d'un observateur à l'autre)

Mathématiquement :

ds2 = c2 dt2 - dx2 - dy2 - dz2 = c2 dt'2 - dx'2 - dy'2 - dz'2

Les conséquences de ce chamboulement de cadre mathématique ? Rien de moins qu'un temps qui se prend à se dilater et des longueurs qui se prêtent à se contracter !
Albert Einstein